Quelque chose de rationnellement prévisible

Mon éditorial

Ça y est, je me suis relancé. Mardi et mercredi, je finissais cet article sur les modèles évolutionnistes appliqués aux changements technologiques. Vous pouvez le voir et télécharger ici.  Faute de temps, je n’avais rien mis sur ce blog. Hier, j’ai déjà amorcé une nouvelle course, dans ma mise à jour en anglais (voir : “Conversations between the dead and the living (no candles)” ) et je veux bien continuer. D’abord, une petite récapitulation : je reste dans le monde du changement technologique et je joue avec les probabilités. Je suis retourné à cette idée, vieille de quelques mois, des systèmes énergétiques locaux basés sur les énergies renouvelables et associés avec le développement des monnaies locales, que jadis j’avais baptisé le Wasun. Vous pouvez consulter, par exemple,  ‘Les moulins de Wasun’  pour vous rafraîchir la mémoire. De toute façon, j’ai décidé d’approcher cette idée, cette fois, sous l’angle de la théorie de probabilité d’évènements rares. Je continue donc avec les notions fondamentales de Thomas Bayes (Bayes, Price 1763[1]), ainsi qu’avec la théorie de Siméon Denis Poisson, surtout dans sa forme utilisée par le soi-disant fondateur de l’idée de Bitcoin, Satoshi Nakamoto.

Je procède par ordre d’ancienneté et je commence par la théorie de Bayes dans sa pure forme. Il faut que je définisse un évènement, complexe et à contours un peu flous, si possible, qui correspond au succès dans cet univers. Je le définis avec quatre conditions. Condition no. 1 est que le marché d’énergie Q(E) dans une communauté locale consiste à 100% d’énergie renouvelable produite localement. Il faut donc que la demande locale d’énergie, ou D(E), soit égale à l’offre locale S(RE) d’énergie renouvelable. Mathématiquement, cela veut dire Q(E) = D(E) = S(RE). Condition no. 2 stipule que le prix d’énergie P(E) dans ce marché soit dans la limite du pouvoir d’achat moyen PP(E), donc que P(E) ≤ PP(E). Condition no. 3 se réfère au côté capitaliste du projet et elle exige que le taux de retour sur actifs ROA (bénéfice net divisé par la valeur comptable d’actifs) soit supérieur ou égal à une valeur de référence ROA*, ou ROA ≥ ROA*. Finalement, je veux que l’offre W de la monnaie virtuelle locale accroisse systématiquement sa part du marché local par rapport à l’offre M de la monnaie ‘officielle’. Avec deux périodes consécutives T₀ et T₁, ma condition no. 4 peut donc être exprimée comme W/M(T₁) > W/M(T₀).

J’ai donc quatre conditions qui doivent être remplies pour que je puisse parler d’un succès dans le lancement d’un projet local d’énergie renouvelable. J’utilise cet exemple pour jouer un peu avec la théorie de probabilité et à ce moment précis, je veux un petit échange posthume d’idées avec Thomas Bayes. Pour comprendre la théorie de Bayes, il est bon de se demander nous-mêmes qu’est-ce que la probabilité dans notre vie quotidienne. La probabilité que nous apprenons à l’école est un nombre. On jette une pièce de monnaie 100 fois, et on calcule le nombre d’occurrence de la pile et de la face. Disons que pile à fait 30 apparitions dans cet échantillon de 100. Alors, on calcule la probabilité que ce soit pile qui est sur le dessus de la pièce après le jet comme P = 30/100 = 0,3. C’est fait. Seulement, on a justement accompli un paradoxe. Si un évènement est probable, il est incertain. Si j’ai un nombre bien défini, comme P = 0,3, je n’ai plus d’incertitude. La probabilité que nous venons de calculer est dure comme fer. Pardon, elle semble dure comme fer. C’est une fausse certitude en ce qui concerne l’avenir. Quand on y regarde bien, ce P = 0,3 c’est du passé, pendant que la question de base en ce qui concerne la probabilité est « Qu’est-ce qui va se passer ? ». Quelle garantie ai-je, sur la base ce ces 100 essais, que dans les 10 prochains essais j’aurais 3 piles et 7 faces ?

A partir de là, c’est la vraie théorie de probabilité qui commence. Il y a deux chemins fondamentaux à prendre : celui de de Moivre – Laplace ou bien celui de Thomas Bayes. Le premier est le mieux connu aujourd’hui comme « la loi des moyennes ». Je peux répéter mes expériences, par exemple en faisant 100 séries de 100 coups de pile, 10 000 au total. Dans chaque centaine, je calcule mes probabilités. Les probabilités collectées de 100 séries vont converger vers une moyenne. En fait, lorsque la variation, de centaine en centaine, autour de cette moyenne, se stabilisera, je saurai alors que cette moyenne est LA Probabilité des probabilités. Ce théorème, que la moyenne d’un ensemble d’observations est la valeur espérée future pour d’autres observations est le fondement de la statistique moderne et je peux dire sans trop d’exagération que sans ce théorème, on en serait toujours à la science façon Saint Thomas d’Aquin, donc on serait déterministe.

Thomas Bayes a adopté une autre approche. Il avait ce pressentiment général que dans les décisions de la vie réelle, le plus souvent, on n’a pas 10 000 essais pour établir une moyenne avec confidence : on opère dans un univers très limité en termes du nombre d’essais. De plus, les évènements de la vie réelle sont complexes : ce sont plutôt des séquences hétérogènes d’évènements dont certains peuvent être qualifiés comme satisfaisants dans leurs résultats, pendant que les autres se placent en dehors de notre intervalle de tolérance. Son idée, à Thomas Bayes, était de formuler des scénarios alternatifs à propos de l’avenir, et essayer voir quelles conditions doivent être remplies pour que chacun de ces scenarios ait lieu. L’assomption théorique qu’il eût fait était l’idée d’un intervalle de probabilités : « Il y a une probabilité de 40% que mon avenir soit entre le scénario A et le scénario B ».

Lorsque je construis un business plan, comme pour cette idée de systèmes énergétiques locaux, c’est définitivement la logique Bayésienne qui prend le devant. Je fais face à un avenir incertain. J’ai de la science à utiliser, donc j’ai tout un tas de probabilités « dures », style de Moivre – Laplace, mais ces probabilités ne vont pas remplacer mon plan : elles peuvent me servir à le rendre plus solide, mais c’est moi qui dois tracer des scénarios alternatifs pour l’avenir et qui doit pondérer judicieusement entre l’ambition et le bon sens. Je réassume donc mes quatre conditions : Q(E) = D(E) = S(RE) ; P(E) ≤ PP(E) ; ROA ≥ ROA*, W/M(T₁) > W/M(T₀).

Maintenant, laissons parler Thomas Bayes. Si je veux p succès sur n essais, et donc je peux tolérer q = n – p échecs, et si je sais que la probabilité d’un seul succès est égale à « a » et donc que la probabilité d’un échec est de « b », Thomas Bayes me dit que la probabilité complexe de p succès et q échecs est égale à E*a^p*b^q, où E est le facteur de l’expression a^p*b^q obtenu après l’expansion de (a + b)^p+q. C’est la proposition 7 de son essai. Alors, pour comprendre bien comment ça marche, il faut oublier la plupart de ce qu’on a appris à l’école. Bon, OK, oublier juste pour un instant. Faire abstraction de, plutôt. Si la probabilité de succès est de a et la probabilité d’échec est de b, et s’il n y a pas d’évènements non-qualifiables, comme devenir le premier ministre au lieu de devenir président, mon a + b doit faire 1 au total. Si j’élève 1 à quelle puissance que ce soit, ça fera toujours 1. Donc, l’expression (a + b)^p+q = 1,00 ce qui n’est pas tout à fait la direction que je veux prendre. Il faut donc bien comprendre que le succès est quelque chose de complètement différent d’un échec et que « a » correspond à un état de choses radicalement opposé à celui symbolisé par « b ». Par conséquent, et c’est là que nous devons être vraiment souples, pendant qu’il est vrai qu’en général a = 1 – b, il vaut mieux oublier que « a + b = 1 ».

Ce (a + b)^p+q c’est un binôme de Newton et on l’expand comme tel. Par conséquent, le facteur E de l’expression E*a^p*b^q est égal à « p^q/q! » , où « q! » est la factorielle de q, donc 1*2*…*q.  Si je veux quatre succès et je peux tolérer six échecs sur un total de 10 essais, le terme E sera égal à E = 4⁶/6! = 5,688888889 et cela me dit que j’ai entre 5 et 6 façons différentes de combiner 4 succès et 6 échecs sur un total de 10 essais, quoi que c’est plutôt 6 que 5.

Mon objectif quantifiable est Q(E) = D(E) = S(RE) ; P(E) ≤ PP(E) ; ROA ≥ ROA*, W/M(T₁) > W/M(T₀). Maintenant, si je veux utiliser quelle forme de probabilité que ce soit – Laplacienne ou Bayésienne – il faut que je précise combien de ces succès je veux avoir. La réponse que je vais donner à cette question va déterminer le genre de probabilisme que je vais entrer. Si je réponds « Je veux juste un succès. Je veux que ça marche dans un cas, le mien », j’ai un succès et zéro échecs. Essayons voir. J’ai une probabilité Bayésienne de E*1¹*0⁰ d’avoir un succès certain et certainement pas d’échec. Mon E fait 1⁰/0! = 1/1 = 1, et donc ma probabilité Bayésienne est égale à 1. J’ai 100% de succès. Idiot ? Peut-être, mais c’est justement là que nous voyons l’originalité de Bayes. Tu veux établir tes chances de succès de façon réaliste, mec ? Alors, imagine un univers, un ensemble d’évènements, donc soit une séquence, soit une concurrence spatiale et ça, c’est du rationnellement quantifiable. Je peux, par exemple, imaginer une projection dans le temps : « Durant les 10 années à venir je veux 4 années avec toutes les quatre conditions remplies ».

Si je veux donc prendre le chemin Bayésien dans ma recherche, il faut que j’imagine des alternatives réalistes en ce qui concerne mes conditions. Ensuite, je pourrais me servir d’une étude de marché pour calculer les probabilités simples de base, les Laplaciennes : la probabilité que Q(E) = D(E) = S(RE) et ainsi de suite. Alors, je pourrais évaluer les probabilités complexes, Bayésiennes que tout aille comme je le veux (quatre conditions remplies à la fois) et dire si mes espérances sont ne serait-ce qu’un peu réalistes. Si oui, je bâtis mon business plan avec l’objectif quantifiable comme précisé là-dessus. Sinon, je teste la probabilité complexe d’autres scénarios possibles jusqu’à que j’arrive à quelque chose de rationnellement prévisible.

[1] Mr. Bayes, and Mr Price. “An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. by the late rev. mr. bayes, frs communicated by mr. price, in a letter to john canton, amfrs.” Philosophical Transactions (1683-1775) (1763): 370-418