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Le rectangle Bayésien et mon business plan

Mon éditorial, droit de la ville d’Amplepuis cette fois

Je peux résumer ces quelques derniers jours d’écriture. Je suis en train d’étudier la théorie de probabilité, appliquée à un cas réel : mon idée de développer des systèmes énergétiques locaux basés sur les énergies renouvelables et dotées d’un système monétaire local. Comme je conduisais ce fil de raisonnement, j’ai remarqué que je commencé à faire le prof. Je profitais, dans chaque mise à jour, de l’occasion offerte par le sujet pour exposer, de façon didactique, des questions fondamentales du calcul des probabilités. Au fond, ceci n’est pas une mauvaise chose. J’ai bien l’ambition de tourner mon blog scientifique, un jour, en un site éducatif. Autant pratiquer un peu.

Alors, je résume partiellement ma recherche théorique et, en même temps, je résume l’aspect éducatif. Un cas réel, comme celui-ci, donc un business plan pour un projet innovant, nous fait comprendre quelques implications pratiques du calcul des probabilités. Premièrement, une probabilité est une proportion entre des fragments de réalité et c’est précisément ça l’utilité de base du calcul des probabilités. Nous avons une tendance innée à essayer de prédire ce qui va se passer, mais nous disposons de moyens très limités pour faire une telle prédiction de façon intelligible, donc communicable aux autres. Les évènements s’accompagnent mutuellement, ils forment des séquences et des structures. L’assomption du système aristotélicien et déterministe était que nous vivons tous et toujours dans la même structure. C’est aussi une tentation instinctive de notre cerveau de créer l’illusion de reproduction continue d’un même schéma.    Néanmoins, la science moderne nous dit que notre existence est un passage constant entre des différentes structures de réalité. Essayer de prédire l’avenir veut dire deviner dans quelle structure on va atterrir. En plus, nous avons une capacité vraiment limitée de faire la différence entre la réalité d’une part et notre image de la réalité d’autre part. Ce que nous pouvons faire – et que nous faisons tout le temps, en fait, à un niveau neurologique très primaire – consiste à créer beaucoup de représentations alternatives de réalité et à essayer voir laquelle de parmi elles marche le mieux, donc laquelle nous donne le plus d’exactitude de prédiction.

Si je vivais cents ans en arrière, et si ce business plan concernait un nouveau moulin à vent, ce plan serait déterministe. Il ne serait même pas question de business plan, en fait, puisque tout serait réglé par des assomptions du type « il en a toujours été ainsi ». Pourquoi donc aujourd’hui nous faisons des business plans ? Eh bien, parce que nous sommes déjà habitués, au niveau culturel, à l’approche probabiliste : « Donc, mon cher enthousiaste, dans quel univers places-tu ton projet, comment définis-tu ton succès et comment peux-tu m’assurer qu’il y a un chemin rationnellement prévisible vers ledit succès ? ». C’est le moment de tirer le probas de notre manche. Question no. 1 : l’univers. Je sais, l’univers, c’est plutôt grand et plutôt infini. En fonction de la théorie de probabilité qu’on choisit, cet univers peut être plus ou moins infini. Je commence avec l’univers qui est apparemment le plus infini, donc avec l’univers de de Moivre et Laplace. Je cherche ces moyennes solides, à plier de l’acier autour d’elles : je cherche des infos sur les variables que j’ai choisies comme conditions de succès : la taille du marché de l’énergie ou Q(E), les prix d’énergie P(E), le pouvoir d’achat individuel PP(E) en ce qui concerne ladite énergie, le taux de retour sur actifs ROA, l’offre agrégée de l’argent M, ainsi que la taille du marché W des transactions effectuées en des monnaies virtuelles. Dans un business plan, vous pouvez fréquemment trouver ces données-là comme « Etude primaire de marché » ou un truc similaire.

Voilà, maintenant que j’ai épinglé ces moyennes sur ma table, je peux créer un univers un peu moins infini, celui de Thomas Bayes. En fait, je le suis déjà dit hier qu’en vertu de clarté il serait utile que je dessine le rectangle Bayésien, celui qui a servi Thomas Bayes à construire la preuve de ses propositions. Donc, vous cliquez ici, sur le rectangle Bayésien et vous pouvez le voir, aussi fidèle au dessin originel que j’ai pu le faire. Le truc, ici, c’est de construire un univers abordable, fini, avec des limites. Qu’est-ce qui peut bien se passer ? Tout, en fait, mais dans ce tout il y a des choses qui ne sont liées à mon projet que d’une façon très distante. J’utilise ces moyennes du type de Moivre – Laplace que j’ai déjà trouvées. Provisoirement, je construis cinq rectangles Bayésiens, un pour chaque variable dans mon objectif quantifiable ( M et W se trouvent dans un seul rectangle, puisque mon objectif quantifiable dans leur cas c’est W/M). Leurs distributions respectives feront la longueur du côté AB dans chaque rectangle ou, en langage humain, elles représentent ce qui peut raisonnablement se passer.

Là, une petite remarque semble utile. Dans ce rectangle Bayésien, vous pouvez remarquer une ligne centrale Ii, genre de sécante à travers cet univers. C’est celle qui touche à cette espèce de bosse sous le rectangle proprement dit. La bosse en rouge, c’est une ligne que Thomas Bayes a dessinée sous le rectangle et la seule ligne courbe dans tout son dessin originel. Eh bien, quoi qu’il ne le dit pas directement dans son article (Bayes, Price 1763[1]), je devine que cette ligne courbe c’est la distribution de De Moivre – Laplace ou, si vous voulez une référence plus proche dans le temps, une distribution Gaussienne. Le point « i » sur cette courbe semble être la moyenne, ou la valeur espérée de la distribution. De là, je déduis que l’intention de Thomas Bayes était de placer son raisonnement dans un univers congruent avec celui de De Moivre – Laplace, mais plus étroit et plus défini.

Alors, la première balle de Thomas Bayes est jetée, celle qu’il eût désignée comme « W » est qui est censée positionner l’univers de probabilité même plus exactement par rapport à l’immensité de tout ce qui peut se passer. Sa position d’atterrissage fixe la position du point « o » sur le côté AB du rectangle et la position de la ligne Sow. En regardant la position de ce point « o » et de la ligne Sow qu’il fixe je me dis – et c’est encore une fois une supposition de ma part – que Thomas Bayes avait en tête une situation où cet évènement initial d’atterrissage de la première balle découpe un fragment vraiment très circonscrit par rapport à l’univers initial.

Bon, donc dans mon business plan, je jette cette première balle. Dans chacun de ces cinq rectangles Bayésiens initiaux que j’avais tracé précédemment autour de mes six moyennes – la taille du marché de l’énergie Q(E), les prix d’énergie P(E), le pouvoir d’achat individuel PP(E) en ce qui concerne l’énergie, le taux de retour sur actifs ROA, l’offre agrégée de l’argent M, et la taille du marché W des transactions effectuées en des monnaies virtuelles – ce premier jet de balle découpe une section où je veux bien me trouver avec mon projet, une sorte de zone favorable.

Maintenant, le temps vient de jeter la seconde balle « O », celle qui est mon essai proprement dit. Pour les besoins d’un business plan, il faut bien la calibrer, cette seconde balle. Intuitivement, dans mon cas précis de systèmes énergétiques locaux, je choisis des balles de calibre différent pour des rectangles différents. Quand j’étudie mes chances de succès dans le marché local, donc quand je parle de la consommation locale d’énergie ainsi que des prix et du pouvoir d’achat, je prends un consommateur comme une balle. Ma balle « W » était donc un consommateur représentatif pour un succès de ma part ; donc un consommateur qui peut bien se permettre de payer pour toute l’énergie verte dont il a besoin pour couvrir toute sa demande individuelle. Ma ligne Sow dans le rectangle c’est la frontière entre le marché composé de consommateurs aux caractéristiques favorables à mon projet, d’une part, et tout le reste du marché d’autre part. Ma balle « O » c’est un essai de ma part d’atterrir, avec mon marketing local, dans le segment de consommateurs qui ont au moins ce profil-là ou même mieux, comme des enthousiastes avec portefeuille épais et un sens d’engagement prononcé. Mon nombre total d’essais est le nombre total de consommateurs que je peux raisonnablement espérer de toucher avec mon effort marketing.

Là, je peux montrer la différence entre la logique Bayésienne et celle de la distribution Poisson, utilisée par Satoshi Nakamoto dans ses simulations initiales pour le Bitcoin. Dans la distribution Poisson le nombre total d’essais est toujours défini comme un intervalle de temps. Si j’appréhendais mon business plan du côté Poisson, ma question serait « Quelle est la probabilité que j’attire le nombre de consommateurs voulu dans un intervalle de temps N ? ». Dans la logique Bayésienne je peux me concentrer sur cet aspect temporel ou utiliser une autre échelle (autre que le temps, je veux dire) pour mesurer mon nombre d’essais.

Disons que pour la clarté, je choisis une échelle temporelle. Je veux calculer la probabilité Bayésienne du scénario suivant : sur les 365 jours de l’année, je veux 265 jours avec succès marketing et je peux tolérer 100 jours avec échec. La probabilité de succès pour un seul jour est de 50%, donc 0,5. Ma probabilité Bayésienne se calcule comme E*ap*bq = (265100/100 !)*0,5265*0,5100 = 3,01048*e-26. N’essayez même pas de l’écrire normalement. La probabilité d’un tel scénario est tellement minime, dans la logique Bayésienne, que je peux m’en passer dans mon business plan.

Maintenant, la logique de Siméon Denis Poisson et sa formule P = e-l*(lk/k !), où « e » est la constante e = 2,71828…, « l » est le nombre moyen espéré d’évènements par intervalle de temps, et « k » est le nombre de succès par intervalle de temps. Comme la probabilité d’un seul succès est de 50%, le nombre moyen espéré est de l = 0,5*365 = 182,5. Ma probabilité de Poisson, de 265 jours à succès en une année est donc de P = e-182,5*(182,5265/265 !) et alors c’est là que ça pète, puisque le résultat est de – 179,28. Ceci n’est pas une probabilité.

Bon, mon cerveau commence à démanger. Ce sera tout pour aujourd’hui.

[1] Mr. Bayes, and Mr Price. “An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. by the late rev. mr. bayes, frs communicated by mr. price, in a letter to john canton, amfrs.” Philosophical Transactions (1683-1775) (1763): 370-418

Thomas Bayes, Satoshi Nakamoto et bigos

Mon éditorial

J’hésite entre continuer à explorer la logique mathématique de Thomas Bayes (Bayes, Price 1763[1]), et celle de Satoshi Nakamoto, le fondateur mystérieux de Bitcoin.. Je me dis qu’il serait intéressant d’être bien polonais, cette fois. Chez nous, en Pologne, nous avons un plat appelé « bigos » : un peu comme la choucroute française, mais avec plus de prédilection pour mélanger des ingrédients divers, dans une base faite de choux cuit. Du choux cuit, ça a une odeur si forte que quoi que vous y ajoutiez servira à mitiger et affiner. Mes choux c’est l’idée de systèmes énergétiques locaux basés sur les énergies renouvelables (choux) et la théorie de probabilité c’est l’eau pour le cuire. Je pense qu’il est intéressant de mélanger, dans cette base, Thomas Bayes et Satoshi Nakamoto façon « bigos ».

Avec Thomas Bayes j’entre donc un univers essentiellement spatial et géométrique, où tout ce qui peut possiblement se passer et défini comme un rectangle ABCD et où deux balles jetées l’une après l’autre simulent les évènements dont l’occurrence m’intéresse le plus. Alors que la première balle, que Thomas Bayes appelle « W », soit jetée sur le rectangle, elle s’arrête en un point défini. On trace une ligne droite, parallèle à AD, à travers ce point. Elle coupe les côtés CD et AB en des points dénommés respectivement « s » et « o ». Voilà que mon univers se rétrécit à un rectangle plut petit, compris entre le côté AD du grand rectangle et la droite s_o. Comme je jette ma deuxième balle, dénommée « O » dans la notation originelle de Bayes, je la jette plusieurs fois, ou « n ». Si la balle O tombe dedans ce petit rectangle, entre le côté AD et la droite s_o, c’est un succès que Thomas Bayes dénomme M. Le nombre de fois que j’achève ce succès M est symbolisé avec « p », et le nombre d’échecs (pas de M, désolé) porte le symbole de q.

Avec Satoshi Nakamoto, je plonge dans un univers de transactions financières effectuées façon Blockchain, donc comme endossage consécutif garanti par une chaîne des registres dans un réseau. Selon la définition initiale de la part de Satoshi Nakamoto : « Nous considérons le scenario d’un agresseur qui essaie de générer une chaîne alternative (de transactions) plus vite que se constitue la chaîne honnête. Même si ceci est accompli, ça n’ouvre pas le système aux changements arbitraires, comme la création de valeur à partir du néant ou prendre l’argent qui n’a jamais appartenu à l’agresseur. Les nœuds du réseau ne vont pas accepter une transaction non-valide comme paiement, et les nœuds honnêtes n’accepteront jamais un registre qui les contient. Un agresseur peut seulement essayer de changer une de ses propres transactions pour reprendre l’argent qu’il a récemment dépensé ».   

L’intentionnalité est la première différence notable entre ces deux univers de probabilité : celui de Thomas Bayes et celui de Satoshi Nakamoto. La logique Bayésienne considère les évènements étudiés comme le résultat du pur hasard ou d’un processus si complexe et inconnu que de notre point de vue c’est du hasard. La logique de Bitcoin c’est un univers d’actions intentionnelles où on parle de succès ou échec dans l’accomplissement d’un objectif. Voilà du « bigos » intéressant. La deuxième différence, plus abstraite et peut-être plus subtile, est la façon de définir le succès de l’action. Chez Thomas Bayes, le succès consiste à se trouver, lorsque tout a été fait et dit, dans une gamme d’états possibles, genre entre la frontière de mon univers et une droite qui le coupe en deux. Chez Nakamoto, l’agresseur peut parler du succès si et seulement s’il accomplit un objectif très concret, c’est-à-dire s’il réussit à annuler ses propres paiements et faire revenir le pognon dans sa poche.

Si j’utilise ces deux cadres de référence pour aborder, de façon scientifique, mon idée de systèmes énergétiques locaux, avec mes quatre conditions Q(E) = D(E) = S(RE) ; P(E) ≤ PP(E) ; ROA ≥ ROA*, W/M(T1) > W/M(T0), la logique Bayésienne me dit que les valeurs de référence dans mon business plan seront plus ou moins exogènes à mes efforts : elles seront comme la position de cette première balle W. La demande d’énergie D(E), le pouvoir d’achat individuel PP(E) par rapport à cette énergie, la valeur de référence ROA* pour mon taux de retour sur actifs, ainsi que la proportion initiale W/M(T0) entre les transactions W, payées avec le Wasun, la monnaie virtuelle locale, et celles effectuées en monnaie officielle M : tout ça sera donné objectivement, plus ou moins. Alors que j’ai ces repères, je peux soit continuer dans la logique Bayésienne – et étudier la probabilité de tout un éventail des situations qui remplissent mes conditions générales – soit suivre la logique de Satoshi Nakamoto et essayer de décrire des succès et des échecs possibles en des termes très, très précis.

La logique de Thomas Bayes semble reposer, dans une large mesure, sur la lemme 1, qu’il formule juste après avoir tracé cet univers rectangulaire ABCD avec deux balles jetées dedans : « La probabilité que le point o tombera entre une paire quelconque des points sur le côté AB (du rectangle ABCD) est la proportion de la distance entre ces deux points à la longueur totale de AB ». Pour ceux qui sont juste modérément fanas des maths : une lemme est une sorte de théorème adjacent, comme instrumental au théorème principal. Une lemme est donc une hypothèse prouvée, genre en passant, dans le cadre d’une preuve plus large. Thomas Bayes offre une preuve géométrique très élaborée de cette lemme, encore que moi, personnellement, je pense qu’il est plus intéressant de démontrer le sens de cette proposition dans la vie réelle, plutôt que suivre un chemin géométrique rigoureux. Alors voilà : vous tournez le dos à un arbre et vous jetez des pierres par-dessus votre épaule, sans regarder. Vous avez une sorte d’univers derrière vous, qui est fait de toutes les endroits possibles où vos pierres peuvent atterrir. Dans cet univers, il y a comme un sous-univers fait de l’arbre. Chaque fois qu’une pierre touche l’arbre, l’évènement compte comme succès. Sinon, c’est un échec. Le bon sens dit que plus gros est cet arbre derrière vous, par rapport à votre champ de tir complet, plus grandes sont les chances que vos pierres frappent l’arbre. La logique opérationnelle derrière cette lemme est tout aussi terre-à-terre : plus larges sont les limites de ce que je définis comme succès, par rapport à la taille entière de mon univers de probabilité, plus grandes sont mes chances d’achever ce succès. Si une fille cherche un gars de haute taille comme candidat pour fiançailles, la probabilité d’en trouver un entre 175 centimètres et 2 mètres dix est plus grande que de trouver un futur père de ses enfants qui aie exactement 189 centimètres.

La logique Bayésienne implique donc que je définisse mon succès comme un éventail de situations possibles. En revanche, Satoshi Nakamoto suit une logique de séquence temporelle. Une situation a deux résultats possibles : soit l’agresseur réussit à rempocher son argent de façon frauduleuse, soit il échoue. La probabilité de Nakamoto est basée sur le nombre de pas nécessaires pour achever le résultat. Plus de nœuds dans le réseau l’agresseur devra dominer, par rapport au nombre total des nœuds, plus il lui sera difficile d’atteindre son but. Plus de nœuds honnêtes nous avons dans le réseau, en proportions à la taille totale du réseau, plus il est facile d’en garder l’intégrité financière. Nakamoto parle de séquence puisque le fait d’atteindre chaque nœud et essayer de le dominer est un pas séparé dans la séquence d’actions entreprises par l’agresseur. Remarquez : c’est la même logique de base que chez Bayes, la logique des proportions, mais représentée comme une chaîne d’évènements plutôt que comme un univers plat et statique.

En revenant à mes oignons, je peux appréhender mon concept général de ces deux façons distinctes. Je peux définir mon objectif de la façon que j’ai déjà montré – Q(E) = D(E) = S(RE) ; P(E) ≤ PP(E) ; ROA ≥ ROA*, W/M(T1) > W/M(T0) – ou bien je peux représenter ces conditions comme des séquences d’actions et les décrire en termes du nombre de pas nécessaires. Combien de clients dois-je acquérir pour pouvoir achever Q(E) = D(E) = S(RE) ? Combien de nœuds ai-je besoin de créer dans mon réseau de Wasun pour achever W/M(T1) > W/M(T0) ? Je peux aussi muter cette logique (Nakamotienne ?) un tout petit peu et remplacer la dimension temps par une dimension ressources : combien de capital je dois investir pour atteindre mes objectifs etc. ?

[1] Mr. Bayes, and Mr Price. “An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. by the late rev. mr. bayes, frs communicated by mr. price, in a letter to john canton, amfrs.” Philosophical Transactions (1683-1775) (1763): 370-418